Ein Geldbetrag kann sich manchmal fast unbemerkt verdoppeln und sich dann in weit kürzerer Zeit erneut verdoppeln. Der Grund liegt im Zinseszins und in einer Faustformel, mit der sich sein Tempo leicht abschätzen lässt: der 72er-Regel.
Zinseszins: Zinsen auf Zinsen
Zinseszins bezeichnet die Zinsen auf ein Kapital, die anschließend dem Kapital zugeschlagen werden und so selbst Zinsen erwirtschaften. Die Anlegerbildungsseite der US-Börsenaufsicht SEC, Investor.gov, fasst dies als "Zinsen auf Zinsen" zusammen. Eine Einlage von 10.000 zu 10 % wächst im ersten Jahr auf 11.000; im zweiten Jahr werden die Zinsen auf 11.000 statt auf 10.000 berechnet, und der Saldo erreicht 12.100. Diese zusätzlichen 100 sind Zinsen auf Zinsen, und mit der Zeit wächst dieser Effekt lawinenartig.
Das Bemerkenswerte an diesem Mechanismus ist, dass das Wachstum exponentiell verläuft, nicht linear. Bei einfachen Zinsen wird jedes Jahr derselbe Betrag hinzugefügt, beim Zinseszins wird der hinzugefügte Betrag jede Periode etwas größer. Im Lauf der Jahre wird die Kurve steiler; deshalb schafft ein früher Anlagebeginn einen Vorsprung, der später mit größeren Beträgen kaum aufzuholen ist.
Einfache Zinsen und Zinseszins im Vergleich
Bei einfachen Zinsen werden die Zinsen nur auf das ursprüngliche Kapital berechnet. Zu 10 % einfachem Zins verdient ein Betrag von 10.000 in zehn Jahren 10.000 an Zinsen und erreicht 20.000. Lässt man dasselbe Geld zum gleichen Satz mit Zinseszins wachsen, ergibt sich rund 25.937. Der Unterschied wirkt in den ersten Jahren gering, vergrößert sich aber mit der Laufzeit: Über 30 Jahre vervierfachen einfache Zinsen das Geld, während der Zinseszins es auf mehr als das 17-Fache bringt.
Genau dieses zinseszinsbedingte Wachstum soll die 72er-Regel abschätzen; für einfache Zinsen funktioniert sie nicht.
Was ist die 72er-Regel?
Die 72er-Regel ist eine praktische Methode, um abzuschätzen, wie viele Jahre Geld bei einer festen jährlichen Rendite zur Verdopplung braucht. Die Regel ist einfach: Man teilt 72 durch die erwartete jährliche Rendite in Prozent, und das Ergebnis ist die ungefähre Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung.
Die Formel lautet:
Verdopplungszeit (Jahre) ≈ 72 / jährliche Rendite (%)
Die Regel funktioniert auch umgekehrt: Wenn sich das Geld innerhalb einer bestimmten Zahl von Jahren verdoppeln soll, teilt man 72 durch diese Jahreszahl, um die nötige jährliche Rendite zu erhalten.
Rechnen mit der 72er-Regel
Einige Beispiele machen die Regel greifbar:
- 8 % pro Jahr: 72 / 8 = 9. Das Geld verdoppelt sich in etwa 9 Jahren.
- 6 % pro Jahr: 72 / 6 = 12 Jahre.
- 4 % pro Jahr: 72 / 4 = 18 Jahre.
- Eine Einlage mit 3,5 % pro Jahr: 72 / 3,5 ≈ 20,6 Jahre.
In einem Beispiel des Nebraska Department of Banking and Finance ergibt die Annahme einer langfristigen Durchschnittsrendite von 10 %: 72 / 10 = 7,2 Jahre. Umgekehrt: Um das Geld in 6 Jahren zu verdoppeln, braucht man 72 / 6 = 12, also eine durchschnittliche jährliche Rendite von 12 %.
Die Stärke der Regel liegt darin, dass sie exponentielles Wachstum im Kopf begreifbar macht, ohne Taschenrechner oder Logarithmentafel.
Warum 72? Die Mathematik hinter der Formel
Die exakte Verdopplungszeit ergibt sich aus einem Ausdruck, der aus der Zinseszinsgleichung abgeleitet ist:
t = ln(2) / ln(1 + r)
Dabei ist ln der natürliche Logarithmus und r die jährliche Rendite als Dezimalzahl. Die Zahl ln(2) beträgt etwa 0,6931, weshalb bei niedrigen Sätzen eine "69,3er-Regel" tatsächlich genauer ist. Doch durch 69,3 lässt sich schlecht teilen. Die Zahl 72 hingegen ist ohne Rest durch 2, 3, 4, 6, 8, 9 und 12 teilbar, was sie in der Praxis weit nützlicher macht, und deshalb wird sie seit Jahrhunderten bevorzugt.
Die Ursprünge der Regel reichen mindestens bis ins 15. Jahrhundert zurück: Der italienische Mathematiker Luca Pacioli erwähnt die 72er-Regel in seinem Werk Summa de arithmetica von 1494, ohne sie herzuleiten; man geht davon aus, dass er sie nicht erfunden hat.
Die Grenzen der Regel und ihre nahen Verwandten
Die 72er-Regel ist ein Schätzwerkzeug, keine exakte Berechnung. Die genauesten Ergebnisse liefert sie bei Renditen zwischen etwa 6 % und 10 %, besonders nahe 8 %. Je weiter der Satz von diesem Bereich entfernt ist, desto größer der Fehler: Bei sehr hohen Renditen überschätzt die Regel die tatsächliche Zeit, bei sehr niedrigen kann sie sie unterschätzen. Eine Korrektur besteht darin, für je 3 Prozentpunkte Abweichung vom 8-%-Wert 1 zu 72 zu addieren oder davon abzuziehen.
Es gibt weitere Varianten derselben Idee. Für tägliche oder kontinuierliche Verzinsung ist die "69,3er-Regel" genauer; bei sehr niedrigen Sätzen bietet die "70er-Regel" einen praktischen Mittelweg. Alle drei sind unterschiedliche Rundungen derselben logarithmischen Formel.
Die Regel gilt außerdem nur für zinseszinsbedingte, wieder angelegte Erträge; werden die verdienten Zinsen entnommen oder sind die Zinsen einfach, ist das Ergebnis irreführend. Auch Steuern, Gebühren und schwankende Renditen können die reale Zeit verlängern.
Die 72er-Regel bei Inflation und Wachstum
Die 72er-Regel gilt nicht nur für Anlagerenditen, sondern für alles, was exponentiell wächst oder schrumpft. Bei 6 % jährlicher Inflation halbiert sich die Kaufkraft des Geldes in 72 / 6 = 12 Jahren. Eine Wirtschaft oder Bevölkerung, die jährlich um 2 % wächst, verdoppelt sich in etwa 36 Jahren. Ebenso bedeutet ein jährliches Wachstum von 3 %, dass sich das Volkseinkommen in 24 Jahren verdoppelt.
So betrachtet ist die 72er-Regel ein mentaler Kompass, um zu erfassen, was die Prozentzahlen in Wirtschaftsnachrichten langfristig bedeuten: Schon ein kleiner Unterschied bei einem Satz führt über Jahrzehnte zu einem großen Ergebnis.