Денежная сумма иногда удваивается почти незаметно, а затем удваивается снова за куда более короткий срок. Причина — в сложных процентах и в мысленном приёме, который позволяет легко оценить их темп: правиле 72.
Сложные проценты: проценты на проценты
Сложные проценты — это проценты, начисленные на капитал и затем присоединённые к нему, чтобы самим приносить доход. Сайт инвесторского просвещения Комиссии по ценным бумагам и биржам США (SEC) Investor.gov кратко называет это «процентами на проценты». Вклад в 10 000 под 10 % за первый год вырастает до 11 000; во второй год проценты начисляются уже на 11 000, а не на 10 000, и остаток достигает 12 100. Эти лишние 100 — проценты, полученные на проценты, и со временем эффект нарастает как снежный ком.
Самое примечательное в этом механизме то, что рост экспоненциальный, а не линейный. При простых процентах каждый год добавляется одна и та же сумма, а при сложных добавляемая сумма с каждым периодом чуть больше. С годами кривая становится всё круче; поэтому ранний старт инвестирования создаёт преимущество, которое потом трудно наверстать даже более крупными вложениями.
Простые и сложные проценты
При простых процентах доход начисляется только на первоначальный капитал. Под 10 % простых процентов сумма в 10 000 за десять лет приносит 10 000 процентов и достигает 20 000. Если те же деньги под ту же ставку растут по сложному проценту, получается примерно 25 937. Разрыв кажется небольшим в первые годы, но расширяется с увеличением срока: за 30 лет простые проценты увеличивают сумму вчетверо, а сложные — более чем в 17 раз.
Именно этот сложный рост и призвано оценивать правило 72; для простых процентов оно не работает.
Что такое правило 72?
Правило 72 — это практический способ оценить, за сколько лет деньги удвоятся при фиксированной годовой доходности. Правило простое: число 72 делят на ожидаемую годовую доходность в процентах, и результат — приблизительное число лет, необходимых для удвоения.
Формула записывается так:
Срок удвоения (лет) ≈ 72 / годовая доходность (%)
Правило работает и в обратную сторону: если нужно, чтобы деньги удвоились за определённое число лет, делят 72 на это число лет и получают требуемую годовую доходность.
Как считать по правилу 72
Несколько примеров делают правило наглядным:
- 8 % в год: 72 / 8 = 9. Деньги удваиваются примерно за 9 лет.
- 6 % в год: 72 / 6 = 12 лет.
- 4 % в год: 72 / 4 = 18 лет.
- Вклад под 3,5 % в год: 72 / 3,5 ≈ 20,6 года.
В примере Департамента банковского дела и финансов штата Небраска допущение о долгосрочной средней доходности в 10 % даёт 72 / 10 = 7,2 года. В обратную сторону: чтобы удвоить деньги за 6 лет, нужно 72 / 6 = 12, то есть средняя годовая доходность 12 %.
Сила правила в том, что оно позволяет понять экспоненциальный рост в уме, без калькулятора и таблицы логарифмов.
Почему именно 72? Математика формулы
Точный срок удвоения задаётся выражением, выведенным из уравнения сложных процентов:
t = ln(2) / ln(1 + r)
Здесь ln — натуральный логарифм, а r — годовая доходность в виде десятичной дроби. Число ln(2) равно примерно 0,6931, поэтому при низких ставках «правило 69,3» на самом деле точнее. Но на 69,3 делить неудобно. Число 72, напротив, делится без остатка на 2, 3, 4, 6, 8, 9 и 12, что делает его гораздо удобнее на практике, — и поэтому его предпочитают уже несколько столетий.
Истоки правила уходят по меньшей мере в XV век: итальянский математик Лука Пачоли упоминает правило 72 в своём труде Summa de arithmetica 1494 года, не выводя его; считается, что он его не изобретал.
Пределы правила и его близкие родственники
Правило 72 — инструмент оценки, а не точный расчёт. Наиболее точные результаты оно даёт при ставках примерно от 6 % до 10 %, особенно около 8 %. Чем дальше ставка от этого диапазона, тем больше погрешность: при очень высокой доходности правило завышает реальный срок, а при очень низкой может занижать его. Одна из поправок — прибавлять или вычитать 1 из 72 на каждые 3 процентных пункта отклонения ставки от 8 %.
Есть и другие версии той же идеи. Для ежедневного или непрерывного начисления точнее «правило 69,3»; при очень низких ставках «правило 70» даёт практичный промежуточный вариант. Все три — разные округления одной и той же логарифмической формулы.
Кроме того, правило применимо только к сложным, реинвестируемым доходам; если полученные проценты снимают или если проценты простые, результат вводит в заблуждение. Налоги, комиссии и переменная доходность также могут удлинять реальный срок.
Правило 72 при инфляции и росте
Правило 72 применимо не только к доходности вложений, но и ко всему, что растёт или сокращается экспоненциально. При годовой инфляции 6 % покупательная способность денег уменьшается вдвое за 72 / 6 = 12 лет. Экономика или население, растущие на 2 % в год, удваиваются примерно за 36 лет. Точно так же годовой рост в 3 % означает, что национальный доход удвоится за 24 года.
С этой точки зрения правило 72 — мысленный компас, помогающий быстро уловить, что означают проценты из экономических новостей в долгосрочной перспективе: даже небольшая разница в ставке даёт большой результат, когда растягивается на десятилетия.