Une somme d'argent peut parfois doubler presque sans qu'on s'en aperçoive, puis doubler de nouveau en bien moins de temps. La raison tient aux intérêts composés et à un raccourci mental qui permet d'en estimer facilement le rythme : la règle de 72.
Les intérêts composés : gagner des intérêts sur les intérêts
Les intérêts composés sont les intérêts calculés sur un capital, qui sont ensuite ajoutés à ce capital pour produire eux-mêmes des intérêts. Le site d'éducation des investisseurs de la SEC américaine, Investor.gov, les résume par la formule « des intérêts sur les intérêts ». Un dépôt de 10 000 à 10 % atteint 11 000 après la première année ; la deuxième année, les intérêts sont calculés sur 11 000 et non sur 10 000, et le solde atteint 12 100. Ces 100 supplémentaires sont des intérêts gagnés sur des intérêts, et avec le temps l'effet fait boule de neige.
Ce qui frappe dans ce mécanisme, c'est que la croissance est exponentielle et non linéaire. Avec les intérêts simples, on ajoute chaque année le même montant ; avec les intérêts composés, le montant ajouté augmente un peu à chaque période. Au fil des années, la courbe se redresse ; c'est pourquoi commencer à investir tôt crée un avantage difficile à rattraper plus tard avec des sommes plus importantes.
Intérêts simples et intérêts composés
Avec les intérêts simples, les intérêts ne portent que sur le capital initial. À 10 % d'intérêt simple, 10 000 rapportent 10 000 d'intérêts en dix ans et atteignent 20 000. Laissée à se capitaliser au même taux, la même somme atteint environ 25 937. L'écart paraît faible au début, mais se creuse avec la durée : sur 30 ans, les intérêts simples quadruplent la somme, tandis que les intérêts composés la portent à plus de 17 fois le montant initial.
C'est précisément cette croissance composée que la règle de 72 sert à estimer ; elle ne fonctionne pas pour les intérêts simples.
Qu'est-ce que la règle de 72 ?
La règle de 72 est une méthode pratique pour estimer le nombre d'années nécessaires pour qu'une somme double à un taux de rendement annuel fixe. La règle est simple : on divise 72 par le taux de rendement annuel attendu en pourcentage, et le résultat donne le nombre approximatif d'années nécessaires au doublement.
La formule s'écrit :
Temps de doublement (années) ≈ 72 / taux de rendement annuel (%)
La règle fonctionne aussi à l'envers : si l'on veut que l'argent double en un certain nombre d'années, on divise 72 par ce nombre d'années pour trouver le rendement annuel requis.
Calculer avec la règle de 72
Quelques exemples rendent la règle concrète :
- 8 % par an : 72 / 8 = 9. L'argent double en 9 ans environ.
- 6 % par an : 72 / 6 = 12 ans.
- 4 % par an : 72 / 4 = 18 ans.
- Un dépôt rémunéré à 3,5 % par an : 72 / 3,5 ≈ 20,6 ans.
Dans un exemple du Nebraska Department of Banking and Finance, l'hypothèse d'un rendement moyen de long terme de 10 % donne 72 / 10 = 7,2 ans. À l'inverse : pour doubler son argent en 6 ans, il faut 72 / 6 = 12, soit un rendement annuel moyen de 12 %.
La force de la règle est qu'elle permet de saisir la croissance exponentielle de tête, sans calculatrice ni table de logarithmes.
Pourquoi 72 ? Les mathématiques de la formule
Le temps de doublement exact est donné par une expression dérivée de l'équation des intérêts composés :
t = ln(2) / ln(1 + r)
Ici, ln est le logarithme naturel et r le rendement annuel exprimé en décimale. Le nombre ln(2) vaut environ 0,6931 ; aux taux faibles, une « règle de 69,3 » est donc en réalité plus précise. Mais 69,3 se divise mal. Le nombre 72, en revanche, est divisible sans reste par 2, 3, 4, 6, 8, 9 et 12, ce qui le rend bien plus commode en pratique, et c'est pourquoi il est privilégié depuis des siècles.
Les origines de la règle remontent au moins au XVe siècle : le mathématicien italien Luca Pacioli mentionne la règle de 72 dans son ouvrage Summa de arithmetica de 1494, sans la démontrer ; on estime qu'il ne l'a pas inventée.
Les limites de la règle et ses proches parents
La règle de 72 est un outil d'estimation, pas un calcul exact. Elle donne ses résultats les plus précis pour des taux compris entre 6 % et 10 % environ, et surtout autour de 8 %. Plus le taux s'éloigne de cette plage, plus l'erreur grandit : aux rendements très élevés, la règle surestime le temps réel, et aux taux très bas elle peut le sous-estimer. Une correction consiste à ajouter ou retrancher 1 à 72 pour chaque tranche de 3 points d'écart par rapport à 8 %.
Il existe d'autres versions de la même idée. Pour une capitalisation quotidienne ou continue, la « règle de 69,3 » est plus précise ; aux taux très bas, la « règle de 70 » offre un compromis pratique. Les trois sont des arrondis différents de la même formule logarithmique.
La règle ne s'applique par ailleurs qu'aux rendements composés et réinvestis ; si les intérêts gagnés sont retirés, ou si les intérêts sont simples, le résultat est trompeur. Les impôts, les frais et les rendements variables peuvent aussi allonger la durée réelle.
La règle de 72 pour l'inflation et la croissance
La règle de 72 s'applique non seulement aux rendements des placements, mais à tout ce qui croît ou décroît de façon exponentielle. Avec une inflation annuelle de 6 %, le pouvoir d'achat de la monnaie diminue de moitié en 72 / 6 = 12 ans. Une économie ou une population qui croît de 2 % par an double en 36 ans environ. De même, une croissance annuelle de 3 % signifie que le revenu national double en 24 ans.
Vue ainsi, la règle de 72 est une boussole mentale pour percevoir ce que signifient à long terme les pourcentages de l'actualité économique : même un petit écart de taux produit un grand résultat lorsqu'il s'étale sur des décennies.